General Physics

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周期运动: 力的方向指向平衡点, 并且力的大小和距离相关(不一定是线性关系)

简谐运动: 周期运动的一种, 但是力的大小和距离线性相关

$$F_x=-kx$$ $$a_x=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\frac{k}{m}x$$

求解:

$$F=m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-kx$$

令${\omega }^2=\frac{k}{m}$, 有:

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-{\omega }^{2}x\Rightarrow x=A\cos (\omega t+\varphi )$$

• 周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
• 频率 $f=\frac{1}{T}$
• 角频率 $2\pi f=\omega$

对于初相位和振幅:

• 根据题干得出初始速度和初始相位, 然后在$t=0$时列方程: $$\begin{array}{rl}{x}_0& =A\cos (\varphi )\\ v_0& =-\omega A\sin (\varphi )\end{array}$$
• 求解振幅: 两种方法
  • 如果有能量相关的信息, 可以使用能量守恒, 在振幅$x=\pm A$处速度为0, 势能最大
  • 如果有速度, 位移, 角频率等信息, 可以使用数学公式法: $A=\sqrt{x_0^2+(\frac{v_0}{\omega }{)}^2}$
• 求初相位: $\tan \varphi =-\frac{v_0}{\omega x_0}$

圆周运动

简谐运动的特殊形式

$$\vec{a}=-\vec{r}{\omega }^2\{\begin{array}{rl}{a}_x& =-r{\omega }^2\cos (\theta )=-{\omega }^{2}x\\ a_y& =-r{\omega }^2\sin (\theta )=-{\omega }^{2}y\end{array}$$ $$\vec{r}=r{\hat{e}}_r\{\begin{array}{rl}x& =r\cos (\theta )=r\cos (\omega t)\\ y& =r\sin (\theta )=r\sin (\omega t)\end{array}$$ $$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\frac{k}{m}x\Rightarrow \stackrel{..}{\vec{r}}=-\frac{k}{m}\vec{r}$$

可以先算$x$再算$y$最后整合$\vec{r}=(x,y)$, 用这种方式将圆周运动分解成两个直线的简谐运动

在计算圆周运动的时候, 没有真实存在的$k$, 有的只是一个等效的数值$k=m{\omega }^2$, 根据向心力计算:

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =-F_{\text{向心力}}\cos \theta =-m{\omega }^{2}R\cdot \frac{x}{R}=-m{\omega }^{2}x\\ & =-kx\end{array}$$

简谐振动的动力学模型

• 第一种是最常见最基本的形式
• 第二种常见于给定初速度和初始位置的时候可以快速使用, 因为$t=0$时$A^{\prime }=x_0$, $B^{\prime }=\frac{v_0}{\omega }$可以快速得到
• 第三种用于后面的阻尼振动和受迫振动, 因为三角函数求导比较困难

能量

角振动, 单摆, 刚体振动

一般而言都会给出扭转系数$\kappa$用于计算扭矩$\tau =\kappa \theta$

比较维度	1. 简谐振动 (原型)	2. 角振动 (手表/扭摆)	3. 单摆 (Simple Pendulum)	4. 刚体复摆 (Physical Pendulum)
典型场景	弹簧连着滑块	手表摆轮、悬挂的圆盘	细绳挂一个质点	任意形状的物体挂在钉子上
PPT 页码	PHYS1181-Lec9-PeriodicMotion, page 5	PHYS1181-Lec9-PeriodicMotion, page 13	PHYS1181-Lec9-PeriodicMotion, page 14	PHYS1181-Lec9-PeriodicMotion, page 15
运动变量	位移 $x$ (米)	角度 $\theta$ (弧度)	角度 $\theta$ (弧度)	角度 $\theta$ (弧度)
惯性项	质量 $m$	转动惯量 $I$	转动惯量 $I=m{L}^2$ (质点绕轴转)	转动惯量 $I$ (需通过形状计算)
恢复力/力矩	弹力 $F=-kx$	扭转力矩 $\tau =-\kappa \theta$	重力力矩 $\tau =-mgL\sin \theta$	重力力矩 $\tau =-mg{r}_c\sin \theta$
微振动近似 (考试关键)	不需要 (本来就是线性的)	不需要 (本来就是线性的)	需要！ 当 $\theta$ 很小时，$\sin \theta \approx \theta$ 力矩变为 $\tau \approx -mgL\theta$	需要！ 当 $\theta$ 很小时，$\sin \theta \approx \theta$ 力矩变为 $\tau \approx -mg{r}_c\theta$
等效”劲度系数” (对应 k)	$k$	$\kappa$ (扭转系数)	$mgL$	$mg{r}_c$ ($r_c$是重心到轴的距离)
动力学方程	$\ddot{x}=-\frac{k}{m}x$	$\ddot{\theta }=-\frac{\kappa }{I}\theta$	$\ddot{\theta }=-\frac{g}{L}\theta$	$\ddot{\theta }=-\frac{mg{r}_c}{I}\theta$
角频率 $\omega$ (必背公式)	$\sqrt{\frac{k}{m}}$	$\sqrt{\frac{\kappa }{I}}$	$\sqrt{\frac{g}{L}}$	$\sqrt{\frac{mg{r}_c}{I}}$

阻尼震动

Tip

可以参考Typical System里面对Damping的描述

阻力: $f=-\gamma v=-\gamma \frac{dx}{dt}$

新的动力学方程的形式:

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+2\delta \frac{dx}{dt}+{\omega }_0^{2}x=0$$

• 固有频率${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$
• 阻尼系数$\delta =\frac{\gamma }{2m}$

此时, 位移的通解形式应该是:

$$x(t)=A_0{e}^{-\delta t}\cos ({\omega }^{\prime }t+\varphi )$$

• 振幅会随着时间逐渐减小
• 半衰期 $e^{-\delta t}=\frac{1}{2}$
• 新的角频率 ${\omega }^{\prime }=\sqrt{{\omega }_0^2-{\delta }^2}$

通解:

• 欠阻尼: $$e^{-\delta t}[A\cos \left(t\sqrt{{\omega }_0^2-{\delta }^2}\right)+B\sin \left(t\sqrt{{\omega }_0^2-{\delta }^2}\right)]$$ 对于欠阻尼而言, 求解A,B两个常数(利于初值和求导计算):
  • $A=x_0$
  • $B=\frac{v_0+\delta x_0}{{\omega }_d}$
• 临界阻尼: $$e^{-\delta t}(A+Bt)$$
• 过阻尼: $$e^{-\delta t}[A{e}^{t\sqrt{{\delta }^2-{\omega }_0^2}}+B{e}^{-t\sqrt{{\delta }^2-{\omega }_0^2}}]$$

能量也会随着时间耗尽:

$$E(t)=E_0{e}^{-2\delta t}$$

摩擦力功率:

$$P=fv=-2m\delta v^2$$

为了定义一个指标指示“这东西能振多久”, 在$\delta$很小的情况下定义品质因素$Q$:

$$Q\approx \frac{{\omega }_0}{2\delta }$$

• 过阻尼 $\delta >{\omega }_0$ 在回到平衡点的过程中停下, 无法回到平衡点
• 临界阻尼 $\delta ={\omega }_0$ 刚好回到平衡点, 平衡点处速度为0
• 欠阻尼 $\delta <{\omega }_0$ 做减速周期运动, 在平衡点附近振动, 这个也是上面在求解的内容

Lecture 10

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受迫振动

一个谐振子有自己的振动节奏叫做固有频率${\omega }_0$. 这个时候有一个外力推动(驱动力$F$), 这个力产生的频率为驱动频率$\omega$

最终的振动形式就是这两种力共同作用的结果:

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+2\delta \frac{dx}{dt}+{\omega }_0^{2}x=\frac{F_0}{m}\cos (\omega t)$$

其中, $F_0$是力的大小, $\omega$是力的频率, 组合起来是驱动力$F$

这就变成了一个非齐次的线性微分方程.

特解: $A\cos (\omega t+\varphi )$

• $A=\frac{F_0}{m\sqrt{4{\omega }^2{\delta }^2+({\omega }^2-{\delta }^2{)}^2}}$
• $\tan \varphi =\frac{2\omega \delta }{{\omega }^2-{\omega }_0^2}$

完整解:

• 欠阻尼: $$e^{-\delta t}[A^{\prime }\cos \left(t\sqrt{{\omega }_0^2-{\delta }^2}\right)+B^{\prime }\sin \left(t\sqrt{{\omega }_0^2-{\delta }^2}\right)]+A\cos (\omega t+\varphi )$$
• 临界阻尼: $$e^{-\delta t}(A^{\prime }+B^{\prime }t)+A\cos (\omega t+\varphi )$$
• 过阻尼: $$e^{-\delta t}[A^{\prime }{e}^{t\sqrt{{\delta }^2-{\omega }_0^2}}+B^{\prime }{e}^{-t\sqrt{{\delta }^2-{\omega }_0^2}}]+A\cos (\omega t+\varphi )$$

其中, 这里面的$A\cos (\omega t+\varphi )$就是前面特解的结果. 一般而言求解特解即可(在没有提到初始值的时候)

共振

共振是当策动力的频率接近于固有频率时，受迫振动的振幅达到最大值的现象.

极大值应该在$\omega =\sqrt{{\omega }_0^2-2{\delta }^2}$的位置, 此时$A_{max}=\frac{F_0}{2m\delta \sqrt{{\omega }_0^2-{\delta }^2}}\approx \frac{F_0}{2m\delta {\omega }_0}$

复杂振动的合成

假设有:

$$\{\begin{array}{rl}{x}_1& =A_1\cos (\omega t+{\varphi }_1)\\ x_2& =A_2\cos (\omega t+{\varphi }_2)\end{array}$$

最终合成运动$x=x_1+x_2$

对于相同频率的简谐振动:

$$\{\begin{array}{rl}A& =\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos ({\varphi }_2-{\varphi }_1)}\\ \varphi & =\arctan \frac{A_1\sin {\varphi }_1+A_2\sin {\varphi }_2}{A_1\cos {\varphi }_1+A_2\cos {\varphi }_2}\end{array}$$

对于不同频率的简谐振动:

只关注同相位相同振幅且频率近似的两个简谐振动的叠加.

定义“拍”的频率: $f=|f_2-f_1|=\frac{|{\omega }_2-{\omega }_1|}{2\pi }$

这种情况下的合成方程为$x=2A\cos (2\pi \frac{f_2-f_1}{2}t)\cdot \cos (2\pi \frac{f_2+f_2}{2}t)$

Lecture 11

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• 横波: 波的传递方向和振动方向是正交的

• 纵波: 波的传递方向和振动方向是一致的

• 行波: 波形一直在移动, 能看到波峰移动的方向

• 驻波: 波形看上去仅仅在原地上下振动, 看不出来波峰的移动方向 (这个通常是由于两个完全一样的波相向而行撞到一起导致的)

表达式:

$$y(x,t)=A\cos (\omega t-kx+\varphi )$$

• $y$: 纵轴位移, $x$: 水平距离, $t$: 时间

• $A$: 振幅, $\omega$: 角频率, $\varphi$: 初始相位

• $k$: 波数, 表示空间上的疏密程度

• 周期 $T$, 频率 $f=\frac{1}{T}$, 角频率 $\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f$, 这些是和质点的上下振动相关的值

• 波长 $\lambda =\frac{2\pi }{k}$, $k$是波数

• 波速 $u=\frac{\omega }{k}$ : 表示波峰传递的速度. 注意与波上质点上下运动的速度($v=y^{\prime }$)做区分

• 如果用波长和波速去表示频率: $f=\frac{u}{\lambda }$, 但是数值应该和$f=\frac{1}{T}$是一样的. 因此通常是已知频率去求波长或者波速

• 使用微分方程的形式为(平面波的波动方程): $$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=u^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$

弦上横波

假设线密度为$\mu$, 张力$F$不变

微元法受力分析得到:

$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=\frac{F}{\mu }\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}$$ $$\Rightarrow u=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$$

波速只与介质(绳子)的材质以及张力有关, 与频率/振幅无关

对于声波, 也可以有类似的结论:

$$u=\sqrt{\frac{B}{\rho }}$$

• $B$: 体积模量
• $\rho$: 密度

对于固体长棒:

$$u=\sqrt{\frac{E}{\rho }}$$

• $E$: 杨氏模量

理想气体中:

$$u=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho }}=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$$

• 利用理想气体公式$pV=nRT$转换. 空气中的声速只和温度有关, 与压强无关

能量

• 动能: 绳子上质点上下振动, 与速度的平方成正比 $(\frac{\partial y}{\partial t}{)}^2$
• 势能: 绳子发生形变产生的弹性势能, 与对x轴的偏导成正比 $(\frac{\partial y}{\partial x}{)}^2$

对于平面的简谐波(行波), 有$\Delta E_k=\Delta E_p$, $\Delta E=\mu \Delta x{\omega }^2{A}^2{\sin }^2(\omega t-kx)$, $\mu$是线密度

即, 对于行波, 在任意时刻动能和势能都相等. 注意这里的势能是与绳子的拉长量有关, 波过来的时候会让绳子倾斜, 倾斜会导致绳子拉长, 这会产生弹性势能

惠更斯原理

衍射: $a\approx \lambda$, $a$是缝的宽度, $\lambda$是波长

驻波

形成条件: 两列振幅相同、频率相同、振动方向相同的简谐波，在同一直线上相向传播（面对面撞在一起）时，叠加形成驻波

方程:

$$y=2A\cos (kx)\cos (\omega t)$$

做振幅为$2A\cos (kx)$的简谐运动, 角频率为$\omega$

波节(node): 永远不振动的点 波腹(antinode): 振动最剧烈的点

相邻波节和相邻波腹之间的距离都是半波长$\frac{\lambda }{2}$, 相邻的波节和波腹之间的距离为$\frac{\lambda }{4}$

简正模式(normal mode): 两头固定, 找频率:

• 固定两头, 那么只能有整数个半波长
• $L=n\cdot \frac{\lambda }{2}$
• $f=\frac{u}{\lambda }=\frac{nu}{2L}$

多普勒效应

波源和接收器均运动:

$$f_L=\frac{v+v_L\cos {\theta }_L}{v-v_s\cos {\theta }_s}{f}_s$$

• $v$是波速, $v_L$是接收器速度, $v_s$是波源速度
• $f_L$是接收器在多普勒效应下的频率
• $f_s$是波源的原始频率

Lecture 12-14

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热学

理想气体方程:

$$pV=nRT$$

理想气体的平均动能:

$$\overline{E_k}=\frac{3}{2}kT=\frac{3nRT}{2N}$$

其中, $k=\frac{R}{N_A}=1.381\times 10^{-23}$ J/K

平衡态

必要条件:

• 力学平衡: 压强相同
• 热平衡: 冷热程度必须一致, 没有热量流动
• 质量平衡: 又叫做化学平衡, 可逆反应达到平衡

Example

不平衡, 因为有热量流动, 从沸水流向冰水. 虽然温度不变但是仍然有热量流动

态函数

定义: 系统其它（非独立）宏观物理量S都是系统状态参量的函数，称为态函数

核心性质：只要起点和终点确定了，无论中间经历了什么过程（路径），其变化量都是固定的

注意, 宏观物体的动能不是态函数, 但是理想气体的分子动能是态函数

状态方程

规定一个系统一些热力学参量需要满足的函数关系的方程. 如, $pV=nRT$, 可以认为是$f(p,V,T)$, 在确定$p,V,T$的两者之后, 第三者是固定的, 不是任意的.

混合理想气体状态方程

$$\sum p_{i}V=\sum v_{i}RT$$

如果要求分压, 可以先根据分子数算百分比, 然后总压$\times$百分比就是分压

功和热量

功

做功: $W=F\cdot dx$, 注意力的方向和位移的方向

外力对系统做功为$W=-{\int }_{V_1}^{V_2}pdV$

系统做功:

1. 对于p-T或者V-T图, 需要先转换成p-V图
2. 分情况算面积:
   1. 如果是单过程一条线, 那么算投影的面积(从起点到终点的p-V线投影到V轴上的面积, 一个近似梯形的图形, 但是斜边是一个曲线)
      1. 如果是等容变化(一条竖线), 那么做功为0
      2. 如果是等压变化(一条水平横线), 那么做功为$p\times |V_2-V_1|$
      3. 如果是一个斜线的变化, 那么做功为梯形的面积. 注意方向, 起点和终点的容积大小
      4. 如果是等温或者绝热过程, 只能使用积分公式去算: 等温$nRT\ln (\frac{V_2}{V_1})$, 绝热$\frac{p_2{V}_2-p_1{V}_1}{\gamma -1}$
   2. 如果是循环过程, 围成了一个闭合图形, 那么计算这个闭合图形的面积
3. 确定正负号
   1. 体积变大: 箭头向右, 外界做负功$W<0$
   2. 体积变小: 箭头向左, 外界做正功$W>0$
   3. 顺时针循环: 外界做负功$W<0$, 这个就是热机的热循环图像
   4. 逆时针循环: 外界做正功$W>0$, 这个是制冷剂的热循环图像

热量

热容$C=\frac{dQ}{dT}$, 可以延伸定义比热容$c=\frac{C}{m}$和摩尔热容量$C_m$, 这些都不是态函数

热量:

$$Q={\int }_{T_i}^{T_f}CdT={\int }_{T_i}^{T_f}mcdT$$

虽然功和热量都不是态函数, 但是他们的总和 内能 是态函数

• 内能是一种宏观热力学物理量
• 内能是一个相对量,即可选取某参考态的内能为0
• 热学中的内能不包括物体整体运动的机械能(柯尼希定理)
• 内能概念可以推广到非平衡态系统

热力学第一定律

$\Delta U=Q+W$

内能的增加量 等于 外界对系统做的功 以及 从外界吸收的热量 的总和

• 温度升高时$\Delta U>0$
• 吸收热量时$Q>0$
• 外界对系统做功时$W>0$

读图做题:

1. 根据$T=\frac{pV}{nR}$算初始和最终状态的温度
2. 计算内能$\Delta U=\nu C_{V,m}(T_2-T_1)$, 这里的$\nu$是气体摩尔数. 无论是等压还是等容, 都可以用这个公式计算内能
3. 根据图像计算做功$W$
4. 除非说时绝热系统$Q=0$, 其他情况很难从图中直接得出, 因此使用第一定律倒推$Q=\Delta U-W$

定义焓: $H=U+pV$, 常见形式为$\Delta H=\Delta (U+pV)$, 这个是态函数

热力学第二定律

热机效率

注意符号恒为正:

$$\eta =\frac{W^{\prime }}{Q_1}=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}$$

卡诺热机效率:

$$\eta =1-\frac{T_2}{T_1}$$

• $T_1$是热源的温度, $T_2$是释放热量(排废气)的地方的温度
• 热机效率永远不可能达到$100\%$

制冷剂制冷系数:$\epsilon =\frac{Q_2}{W}=\frac{Q_2}{Q_1-Q_2}$, 卡诺制冷机的制冷系数: $\eta =\frac{T_2}{T_1-T_2}$

熵

用于判断是否是可逆的

定义:

$$dS=\frac{d{Q}_{rev}}{T}$$

结合第一定律:

$$TdS=dU+pdV$$

对于任意系统, 有$dS\ge \frac{dQ}{T}$, 等号成立的时候为可逆

因此, 对于孤立系统内发生的一切实际过程都是使系统熵增的过程.

Lecture 15

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通过统计学对分子进行估计

平均速度: $\overline{v_x}=\frac{\sum v_{xi}}{N}$, 均方速率: $\overline{v_x^2}=\frac{\sum v_{xi}^2}{N}$, 均方根速率: $\sqrt{\overline{v_x^2}}=\sqrt{\frac{\sum v_{xi}^2}{N}}$

分子的平均动能: ${\bar{\epsilon }}_k=\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}kT$, 考虑这里: ^e2447f

• 最概然速率: $v_p=\sqrt{\frac{2kT}{M}}$
• 平均速率: $\bar{v}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
• 均方根速率: $\sqrt{\overline{v_x^2}}=\sqrt{\frac{3kT}{M}}$

Lecture 16

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相对论

洛伦兹变换:

$$x=ut+x^{\prime }\sqrt{\frac{1-u^2}{c^2}}$$

• 在S参考系中$t$时刻之后, 在S’参考系的x’处的点, 在S参考系中的位置

S参考系$\to$S’参考系:

• $x^{\prime }=\gamma (x-ut)$
• $y^{\prime }=y$
• $z^{\prime }=z$
• $t^{\prime }=\gamma (t-\frac{\beta }{c}x)$

S’参考系$\to$S参考系

• $x=\gamma (x^{\prime }+u{t}^{\prime })$
• $y=y^{\prime }$
• $z=z^{\prime }$
• $t=\gamma (t^{\prime }+\frac{\beta }{c}{x}^{\prime })$

其中$\beta \equiv \frac{u}{c},\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$

“同时”的相对性:

时钟变慢:

尺缩效应:

相对论动力学

相对论质量:

质能关系

$$E=m{c}^2$$