Introduction to Control

Preliminaries

Kernal:

$$F(\alpha )={\int }_a^{b}f(t)K(\alpha ,t)dt$$

• 傅立叶: $K(\omega ,t)=e^{-j\omega t}$
• Laplace: $K(s,t)=e^{-st}$

Eigenvalues:

Kernel of matrix $A$ is null space of matrix $A$:

$$N(A)=null(A)=\{x\in \mathbb{R}|Ax=0\}$$

当零空间只有平凡解的时候, 是可逆的. 反之, 那么矩阵不可逆

$$det(A)=\prod {\lambda }_i$$

O.D.E:

$$\frac{dx}{dt}=\lambda x$$ $$\frac{dx}{x}=\lambda dt$$ $${\int }_0^t\frac{1}{x}dx={\int }_0^t\lambda dt$$ $$\ln |x(t)|-\ln |x(0)|=\lambda (t-0)$$ $$x(t)=x(0)e^{\lambda t}$$

Lecture 01

slides

Control Theory

Control Theory 研究以下三类问题:

System Identification Problem:

graph LR
Input-->?-->Outputs

Simulation Problem

graph LR
Input-->System-->?

Control Problem

graph LR
?-->System-->Outputs

Control

控制:

• Dynamics: 这个系统本身的变化方向. 如:
  • $\frac{d}{dt}x=\pm 1$: 恒定增长/减小
  • $\frac{d}{dt}x=\pm x$: 指数增长/减小
  • $\frac{d}{dt}x=x^2$: 非线性增长/减小
• Goal: 期望系统达成的目标. 如, 让$x\to 0$, 并稳定下来
• Input: 重点的部分. 要设计一个输入(Control System), 使得整个系统达到我们的Goal:
  • $\frac{d}{dt}x=x^2+u$
  • $u$是Control Input. 前面的是Dynamics

但是更常见的系统是一个二阶系统(加速度, …):

为了防止过冲(有加速度, 一阶系统仅能做到靠近, 但是无法确保不会“过冲”(overshoot)或者震荡)

Feedback Control

反馈(feedback): 需要知道输出才能知道控制, 即输入$u$是$x$的函数

Negative Feedback

负反馈. 输出越大, 输入越小(或者越负). 防止输出爆炸

e.g. 根据图中的关系写表达式:

• $Y=D_2+P(U+D_1)$: 最终的输出
• $U=CE$: 由控制器$C$发出的信号, 用于控制最终的输出
• $E=R-Y$: Error误差, 期望的目标$R$(或者叫Reference)和输出$Y$之间的差异

将$U$替换, 得到最终的输出的公式:

$$\begin{array}{rl}Y& =D_2+P(U+D_1)\\ & =D_2+P(C(R-Y)+D_1)\\ & =D_2+PCR-PCY+P{D}_1\end{array}$$ $$\Rightarrow Y=\frac{PC}{1+PC}R+\frac{P}{1+PC}{D}_1+\frac{1}{1+PC}{D}_2$$

此处可以理解为:

• $C$是一个转换器, 希望得到的是$R$, 有误差$E$, 经过$C$使得最终的输出$Y$接近$R$.
• 这个系统的目的是让输出$Y$追随目标$R$

使$C=\infty$, 可以令$\frac{PC}{1+PC}R\to R$, 最终$Y\stackrel{C\to \infty }{==}R$. 即, 如果让控制的增益能够达到无限, 那么系统会忽视其他的组件, 直接复制Reference.

但是实际上这个是理想的系统, 真实世界中由于 能量不是无限的, 因此令$C\to \infty$是不可能达成的.

Lecture 02

slide

Linear Time Invariant System

齐次性(homogenity): $\alpha h(x)=h(\alpha x)$

可加性(superposition): $h(x)+h(y)=h(x+y)$

时不变性(time invariance): $$\begin{gathered} \text{matrix}x(t)\to \text{system}\to y(t) \\ \Downarrow \\ x(t+t_0)\to \text{system}\to y(t+t_0) \end{gathered}$$

Linear Operator

线性操作. 对一个线性系统做线形操作, 得到的系统仍然是线性的.

• $\alpha x(t)$
• $\frac{1}{\alpha }x(t)$
• $\int x(t)dt$
• $\frac{d}{dt}x(t)$
• $x_1(t)+x_2(t)$
• $x_1(t)-x_2(t)$

Laplace Transform

激励函数(Excitation Functions): 在未知系统的时候, 创建一个冲击函数作为输入, 然后根据输出去分析这个系统的构成

• 冲击函数: $\delta (t)$: ${\int }_{0^{-}}^{0^{+}}\delta (t)dt=1$
• 阶跃函数: u(t)=\left\{\matrix{1&t>0\\0&t<0}\right.
• Ramp函数: $tu(t)$
• Parabola函数: $\frac{1}{2}{t}^{2}u(t)$
• Sinusoid函数: $\sin (\omega t)$

Laplace Transform

定义$s=\sigma +j\omega$:

$$\mathcal{L}[f(t)]=F(s)={\int }_{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$$

常见的Laplace变换:

$f(t)$	$F(s)$
$\delta (t)$	$1$
$u(t)=\{\begin{array}{ll}1& t>0\\ 0& t<0\end{array}$	$\frac{1}{s}$
$tu(t)$	$\frac{1}{s^2}$
$t^{n}u(t)$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
$e^{-at}u(t)$	$\frac{1}{s+a}$
$\sin \omega tu(t)$	$\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$
$\cos \omega tu(t)$	$\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$

常见的Laplace变换的操作, 即复合函数的Laplace变换:

Theorem	Name
$\mathcal{L}[f(t)]=F(s)={\int }_{0-}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$	Definition
$\mathcal{L}[kf(t)]=kF(s)$	Linearity theorem
$\mathcal{L}[f_1(t)+f_2(t)]=F_1(s)+F_2(s)$	Linearity theorem
$\mathcal{L}[e^{-at}f(t)]=F(s+a)$	Frequency shift theorem
$\mathcal{L}[f(t-T)]=e^{-sT}F(s)$	Time shift theorem
$\mathcal{L}[f(at)]=\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)$	Scaling theorem
$\mathcal{L}\left[\frac{df}{dt}\right]=sF(s)-f(0-)$	Differentiation theorem
$\mathcal{L}\left[\frac{d^{2}f}{d{t}^2}\right]=s^{2}F(s)-sf(0-)-f^{\prime }(0-)$	Differentiation theorem
$\mathcal{L}\left[\frac{d^{n}f}{d{t}^n}\right]=s^{n}F(s)-{\sum }_{k=1}^n{s}^{n-k}{f}^{k-1}(0-)$	Differentiation theorem
$\mathcal{L}\left[{\int }_{0-}^{t}f(\tau )d\tau \right]=\frac{F(s)}{s}$	Integration theorem
$f(\infty )={\lim }_{s\to 0}sF(s)$	Final value theorem
$f(0+)={\lim }_{s\to \infty }sF(s)$	Initial value theorem

Example

计算$e^{-3t}t\cdot u(t)$的Laplace Transform:

$$\mathcal{L}[e^{-3t}f(t)]=F(s+a)$$ $$\mathcal{L}[t\cdot u(t)]=\frac{1}{s^2}$$ $$\Rightarrow \mathcal{L}[e^{-3t}t\cdot u(t)]=\frac{1}{(s+3{)}^2}$$

Example

计算Laplace Inverse Transform: $F_1(s)=\frac{s^3+2s^2+6s+7}{s^2+s+5}$

$$\begin{array}{rl}{F}_1(s)& =\frac{s^3+2s^2+6s+7}{s^2+s+5}\\ & =\frac{s(s^2+s+5)+(s^2+s+5)+2}{s^2+s+5}\\ & =s+1+\frac{2}{s^2+s+5}\\ & =s+1+\frac{\sqrt{\frac{19}{4}}}{(s+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{19}{4}}\cdot \frac{2}{\sqrt{\frac{19}{4}}}\end{array}$$ $$\Rightarrow {\mathcal{L}}^{-1}[F_1(s)]=\frac{d\delta (t)}{dt}+\delta (t)+e^{-\frac{1}{2}t}\sin \sqrt{\frac{19}{4}}t\cdot u(t)\cdot \frac{2}{\sqrt{\frac{19}{4}}}$$

Example

根据微分方程求解Laplace Inverse Transform: $\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+12\frac{dy}{dt}+32y=32u(t)$

对两侧使用Laplace Transform, 得:

$$s^{2}F(s)-sy(0^{-})-y^{\prime }(0^{-})+12(sF(s)-y(0^{-}))+32F(s)=32\frac{1}{s}$$

因为初始状态下$y$为0, 有:

$$\begin{array}{rl}{s}^{2}F(s)+12sF(s)+32F(s)& =\frac{32}{s}\\ & \\ F(s)& =\frac{32}{s(s^2+12s+32)}\\ & =32\cdot \frac{1}{s}\cdot \frac{1}{4}(\frac{1}{s+4}-\frac{1}{s+8})\\ & =8\cdot \frac{1}{3}(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+4})-8\cdot \frac{1}{7}(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+8})\\ & \\ \Rightarrow y(t)& =\frac{8}{3}u(t)-\frac{8}{3}{e}^{-4t}u(t)-\frac{8}{7}u(t)+\frac{8}{7}{e}^{-8t}u(t)\\ & =\frac{32}{21}u(t)-\frac{8}{3}{e}^{-4t}u(t)+\frac{8}{7}{e}^{-8t}u(t)\end{array}$$

裂项的求法

$$F(s)=\frac{1}{s(s+2{)}^2}$$

裂项之后的结果为:

$$F(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{(s+2{)}^2}$$

注意, 高次项裂项需要把低次项都写出来

然后计算系数(对列项后的结果进行操作):

$$\begin{array}{rl}\text{let s=0, we have: }A& =sF(s)\\ & =\frac{s}{s(s+2{)}^2}\\ & =\frac{1}{(s+2{)}^2}\\ A& =\frac{1}{4}\\ & \\ \text{let s=−2, we have: }C& =(s+2{)}^{2}F(s)\\ & =\frac{1}{s}\\ C& =-\frac{1}{2}\end{array}$$

对于$B$, 需要用求导的方式进行计算:

$$\begin{array}{rl}\text{let s=−2, we have: }B& =[(s+2{)}^{2}F(s){]}^{\prime }\\ & =-\frac{1}{s^2}\\ B& =-\frac{1}{4}\end{array}$$

Example

$$\begin{array}{r}\mathcal{L}[f(t)]=F(s+5)=\frac{1}{s+5}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}F(s)& =\frac{10}{s(s+2)(s+3{)}^2}\\ & =\frac{}{s}+\frac{}{s+2}+\frac{}{s+3}+\frac{}{(s+3{)}^2}\end{array}$$

注意, 高次项在裂项的时候需要使用重根, 不能省略$\frac{C}{s+3}$这一项

Transfer Function

转移函数是一个线性时不变(LTI)的函数. 定义为: 在 零初始化 的状态下, 系统的输入量与输出量的Laplace Transform之比:

$$G(s)=\frac{\mathcal{L}\{\text{Output}\}(s)}{\mathcal{L}\{\text{Input}\}(s)}$$

从微分方程转换:

1. 将两侧通过Laplace Transform转换成频域
2. 写成$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\cdots }{\cdots }$的形式

Example

$$G(s)=\frac{s^2+4s+3}{s^3+3s^2+7s+5}$$

$$\frac{d^{2}c}{d{t}^2}+6\frac{dc}{dt}+2c=2\frac{dr}{dt}+r$$

$$c(t)=\frac{1}{32}-\frac{1}{16}{e}^{-4t}+\frac{1}{32}{e}^{-8t}$$

System Examples

对于电路系统:

一个RLC振荡电路 RC Circuits RL Circuit

对于一个物理弹簧:

电机转子:

State Space Model

状态: $x$, 一个线性无关的向量

SSM将整个系统的所有的方程, 整理成了两个部分:

• 状态方程: $\stackrel{\cdot }{x}=\mathbf{A}x(t)+\mathbf{B}u(t)$
  • 状态的变化速度 = 物理规律$\times$当前的状态$+$外部影响力$\times$外部输入
• 输出: $y=\mathbf{C}x(t)+\mathbf{D}u(t)$
  • 测量的结果 = 观测能力$\times$当前的状态$+$外部对测量值的影响力$\times$外部输入

其中:

• $x(t)$是状态向量
• $\stackrel{\cdot }{x}(t)$是一阶导数
• $y$是输出向量
• $u$是输入向量, 或者说control vector
• $\mathbf{A}$是系统矩阵
• $\mathbf{B}$是输入矩阵
• $\mathbf{C}$是输出矩阵
• $\mathbf{D}$是前馈矩阵

$$\stackrel{\cdot }{x}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{C_1}& \frac{1}{C_1}& -\frac{1}{C_1}\\ -\frac{1}{L}& 0& 0\\ \frac{1}{C_2}& 0& -\frac{1}{C_2}\end{array}\right]\cdot x+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]\cdot v_i(t)$$ $$y=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right]x$$

$$\stackrel{\cdot }{z}=\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& 0& 0\\ -1& -1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& -1& -1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& -1& -1\end{array}\right]\cdot z+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]\cdot f(t)$$ $$y=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right]z$$ $$\text{where: }z={\left[\begin{array}{ccccccc}{x}_1& {\stackrel{\cdot }{x}}_1& x_2& {\stackrel{\cdot }{x}}_2& x_3& {\stackrel{\cdot }{x}}_3& \end{array}\right]}^{\top }$$

O.D.E to State Space Model

原始O.D.E方程:

$$\frac{d^{n}y}{d{t}^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{d{t}^{n-1}}+\cdots +a_1\frac{dy}{dt}+a_{0}y=b_{0}u$$

首先定义: $x_1=y$, $x_2=\frac{dy}{dt}$, $\cdots$, $x_n=\frac{d^{n-1}y}{d{t}^{n-1}}$

有:

则SSM: $\dot{x}=Ax+Bu$ 可以转换成:

$$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\\ ⋮\\ {\dot{x}}_n\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]+Bu$$

由于${\dot{x}}_1=x_2$, ${\dot{x}}_{m-1}=x_m$, 则A的上部分为:

$$\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ & & ⋮& & \\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ ?& ?& ?& \cdots & ?\end{array}\right]$$

根据原始的O.D.E, 有: ${\dot{x}}_n+a_{n-1}{x}_n+\cdots +a_0{x}_1=b_{0}u$, 因此${\dot{x}}_n=-a_{n-1}{x}_n-\cdots -a_0{x}_1+b_{0}u$, 因此完整的$A$为:

$$\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ & & ⋮& & \\ 0& 0& 0& \cdots & 0\\ -a_0& -a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}\end{array}\right]$$

完整的$B$为:

$$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ b_0\end{array}\right]$$

因此, 状态方程为:

输出为$y$, 就是$x_1$. 则最终的输出方程为:

Transfer Function to State Space Model

首先, 将转移函数转换成O.D.E, 然后使用O.D.E to State Space Model.

对于分子不是常数的转移函数, 引入中间变量.

假设转移函数为$\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +b_{1}s+b_0}{s^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0}$

1. 引入中间变量$X(s)$, 使得$\frac{X(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0}$, $\frac{Y(s)}{X(s)}=b_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +b_{1}s+b_0$
2. 构造$$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ & & ⋮& & \\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ -a_0& -a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$
3. 构造$C$矩阵. 频域的输出为$Y(s)=b_0\cdot X(s)+b_1\cdot sX(s)+\cdots +b_{n-1}\cdot s^{n-1}X(s)$. 因此, 构建矩阵$$C=\left[\begin{array}{cccc}{b}_0& b_1& \cdots & b_{n-1}\end{array}\right]$$
4. 矩阵$D$依然为0

对于分子分母同幂次的转移方程, 需要构建矩阵$D$. 步骤为:

1. 将转移函数写成如下形式:$$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\beta +\frac{b_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +b_{1}s+b_0}{s^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0}$$
2. 对于后面的真分式, 使用前面的方法获取矩阵$A$, $B$, $C$:$$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ & & ⋮& & \\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ -a_0& -a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ 1\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cccc}{b}_0& b_1& \cdots & b_{n-1}\end{array}\right]$$
3. 矩阵$D$为一个常数$D=\left[\begin{array}{c}\beta \end{array}\right]$

Example

State Space Model to Transfer Function

假设已知:

$$\dot{X}=AX+BU,Y=CX+DU$$

结论为: 转移函数为

$$T(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=C(sI-A{)}^{-1}B+D$$

计算矩阵的逆的方法:

$$(sI-A{)}^{-1}=\frac{\text{adj}(sI-A)}{\det (sI-A)}$$

$\text{adj}$的结果仍然是一个矩阵, $\det$的结果是一个scalar. 最终的结果应该是一个矩阵, shape和$A$相同.

$\text{adj(A)}$的算法为:

Example

$$sI-A=\left[\begin{array}{cc}s+4& 1.5\\ -4& s\end{array}\right]$$ $$adj(sI-A)=\left[\begin{array}{cc}s& -1.5\\ 4& s+4\end{array}\right]$$ $$det(sI-A)=s(s+4)+6$$ $$(sI-A{)}^{-1}=\frac{ajd(sI-A)}{det(sI-A)}=\frac{\left[\begin{array}{cc}s& -1.5\\ 4& s+4\end{array}\right]}{s^2+4s+6}$$ $$T(s)=\left[\begin{array}{cc}1.5& 0.625\end{array}\right]\frac{\left[\begin{array}{cc}s& -1.5\\ 4& s+4\end{array}\right]}{s^2+4s+6}\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]=\frac{3s+5}{s^2+4s+6}$$

Diagonal State Space Repr

引入: 变量的变换

对于一个系统而言, SSM不是唯一的. 将变量通过Transform矩阵转换到另一个变量, SSM也会随之改变.

如, 令$Z=PX$, 那么SSM变成了:

$$\dot{z}=P^{-1}APz+P^{-1}Bu$$ $$y=CPz+Du$$

使用对角状态空间表达的原因是解耦和, 让变量对最终结果的输出相互独立.

如果没有对角化, 那么${\dot{x}}_1$可能依赖于$x_1,x_2,\cdots$. 对角化之后, ${\dot{z}}_1$只和$z_1$以及$u$有关

矩阵对角化

使用特征向量进行矩阵对角化处理:

$$\det (\lambda I-A)=0$$

计算得到所有的特征值. 然后计算特征向量:

$$A\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]={\lambda }_i\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$$

所有的特征向量组成特征矩阵:

$$P=\left[\begin{array}{ccc}{x}_{11}& \cdots & x_{1n}\\ & ⋮& \\ x_{n1}& \cdots & x_{nn}\end{array}\right]$$

然后对角化矩阵$$\text{Diag}(A)=P^{-1}AP$$

Example

Solution: 使用之前的解法:

$$\begin{array}{rl}Y& =C(sI-A{)}^{-1}Bu\\ & =\left[\begin{array}{cc}2& 3\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}s+3& -1\\ -1& s+3\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]u\\ & =\left[\begin{array}{cc}2& 3\end{array}\right]\frac{\left[\begin{array}{cc}s+3& 1\\ 1& s+3\end{array}\right]}{s^2+6s+8}\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]u\\ & =\frac{8s+31}{s^2+6s+8}u=\left(\frac{}{s+2}+\frac{}{s+4}\right)u\end{array}$$

Example

Solution of the State Space Model

根据SSM的公式, 求解时域的表达式.

假设SSM的状态方程为:

$$\dot{x}=Ax+Bu$$

最终的结果为: 其中:

Block Diagram

框图: 信号都是在频域中的.

• 箭头指向某一个框(System), 然后得到输出, 这个过程是做了乘法(以上图中的b为例): $C(s)=R(s)G(s)$
• 箭头指向一个圈(或者一个operator), 指的是按照符号进行相加减, 然后得到输出(如上图中的c)

串联: 频域相乘: 并联: 频域相加: 反馈: 输出影响输入: 等价于:

化简

注意符号

• 叠加原理(superposition):
• 齐次原理:

Example

Solution: 化简框图, 得:

Lecture 03

slide

Poles and Zeros

响应:

• 强迫响应(force response): 由于外界输入引起的响应 (输入函数的极点)
• 自然响应(natural response): 由于系统本身的性质而产生的响应 (转移函数的极点)

极点 $p=\sigma +j\omega$ 的位置决定了 $e^{(\sigma +j\omega )t}=e^{\sigma t}(\cos \omega t+j\sin \omega t)$ 的形态：

极点的位置 (在 s 平面上)	数学形式 ($p$)	自然响应的时间函数形式 ($e^{pt}$)	物理表现 (参考 Lecture 3, Page 8)
负实轴上 (左半平面)	$p=-\sigma$	$e^{-\sigma t}$	单调衰减。系统受到冲击后平滑地回到零，不震荡（过阻尼）。
原点	$p=0$	$e^{0t}=1$ (阶跃)	常数/积分。系统保持当前状态不恢复。
正实轴上 (右半平面)	$p=+\sigma$	$e^{+\sigma t}$	单调发散。系统不稳定，数值趋向无穷大。
左半平面共轭复数	$p=-\sigma \pm j\omega$	$e^{-\sigma t}\cos (\omega t+\varphi )$	衰减震荡。系统会震荡，但振幅随 $e^{-\sigma t}$ 逐渐减小，最终趋于稳定（欠阻尼）。
虚轴上共轭复数	$p=0\pm j\omega$	$\cos (\omega t+\varphi )$	等幅震荡。系统像永动机一样不停震荡，不衰减也不发散（临界稳定）。
右半平面共轭复数	$p=+\sigma \pm j\omega$	$e^{+\sigma t}\cos (\omega t+\varphi )$	发散震荡。震荡幅度越来越大，系统不稳定。

Typical System

一阶系统只有一个极点, 通常是一个实数.

二阶系统有两个极点, 但是这两个极点不一定是什么, 可能是共轭的也可能是相同的.

• Natural frequency ${\omega }_n$
• Damping ratio $\zeta$
• 假设传递函数为$G(s)=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$

Performance Metrics

指示系统的性能指标.

• 上升时间$T_r$: 指示反应速度
• 峰值时间$T_p$: 上升到最大值的时间
• 超调量$\%OS$ overshoot: 冲过头了多少
• 调节时间$T_s$: 需要多久稳定下来

_p=\frac{pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}=\frac{\pi}{\omega_d}$$

$$T_s=\frac{4}{\zeta {\omega }_n}=\frac{4}{{\sigma }_d}$$ $$\%OS=e^{-(\frac{\zeta \pi }{\sqrt{1-{\zeta }^2}})}\times 100\%$$

Example

Stability

• Stable: 所有的极点都位于左半平面内
• Unstable: 一个或多个极点位于右半平面内
• Marginally Stable: 没有极点位于右半平面内, 但是有不重复的简单极点位于虚轴上
  • “简单极点”: 就是不重复的极点
  • 如果在虚轴上的极点是重复的, 那么这个系统就是Unstable的

Routh Table

特征方程: 传递函数的分母等于零的函数. 假设特征方程为$G(s)=\frac{N(s)}{D(s)}$, 特征方程为$D(s)=0$

Routh-Table:

假设$D(s)=a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0=0$

首先建立Routh Table的初始行(前两行):

• 第一行$s^n$, 填入$a_n,a_{n-2},a_{n-4},\cdots$ (从最高次项开始, 隔一个取一个)
• 第二行$s^{n-1}$, 填入$a_{n-1},a_{n-3},\cdots$ (剩下的系数, 如果缺少则补0)

从第三行开始, 每一行的元素都由上两行计算得出:

$$\text{新元素}=\frac{(\text{左上}\times \text{右下})-(\text{左下}\times \text{右上})}{\text{左上}}$$

注意：这里指的“左上”是当前计算位置的上一行第一列元素. 对于最后一列, 右上和右下补零.

然后一直计算到$s^0$, 观察第一列的符号变化:

• 如果符号没有变化, 那么说明是稳定的
• 如果符号有变化, 变化的次数就是不稳定极点的个数

Example

因此这个系统是不稳定的, 有两个不稳定极点

特殊情况:

1. 如果第一列为0, 那么这个系统一定不是稳定的. 如果硬要算下去, 需要用无穷小量$ϵ$代替0
2. 如果一整行都为0, 那么存在关于原点对称的极点(如, $\pm j\omega$). 如果要继续算下去, 需要求解$\frac{d}{ds}P(s)$, 将系数替换. 这里的$P(s)$是将上一行的系数根据劳斯表该行的最高次幂和系数组合的. 如, 最高次幂为$s^k$, 系数为$c_k,c_{k-2},\cdots$, 那么$P(s)=c_k{s}^k+c_{k-2}{s}^{k-2}+\cdots$

Steady State Error

为了衡量系统的精度, 引入指标稳态误差. 指的是时间趋于无穷大的时候(到达稳定之后), 系统实际输出和期望之间的差值.

Final value theorem:

$$\begin{array}{rl}E(s)& =R(s)[1-T(s)]\\ e(\infty )& =\underset{s\to 0}{\lim }sR(s)[1-T(s)]\end{array}$$

常见的稳态误差函数:

对于阶跃函数, Type 0的系统(上下幂次相同)有常数误差, Type 1,2误差为0; 对于Ramp函数, 由于有二阶输入, 因此Type 0无法跟住(误差为$\infty$); 类似的, 三阶输入需要至少Type 2的系统.

通过误差的值计算传递函数

如果有“外部扰动” $D(s)$, 那么最终的输出的稳态误差会有区别: 在这个情况下, 最终的稳态误差为:

Root Locus

在一个系统中, 有一个“调节旋钮” 增益(Gain) $K$, 用于调节系统反应的速度. 如果增益太小, 那么系统的反应会慢; 如果增益太大, 那么系统会不稳定(明显的震荡).

对于高阶系统而言, 极点难以计算. Root Locus的目的是随着$K$从$0\to \infty$, 得到poles的移动轨迹

画圈表示开环极点(Poles), 画叉表示开环零点(Zeros).

Vector Repr of Complex Numbers

将复数转换成向量, 可以根据Poles和Zeros去直接根据几何求解函数:

Example

Sketching Rules

1. 根轨迹的数量等于开环极点的数量
2. 所有轨迹从开环极点出发
   1. 其中有m条轨迹会走进开环零点(一共有m个开环零点, n个开环极点. 通常$n\ge m$)
   2. 剩下的n-m个轨迹会延伸到无穷远处
3. 在实轴上的点, 如果右侧极点零点加起来为奇数, 那么当前这一段为root locus; 如果加起来是偶数, 那么当前这一段不为root locus
   • e.g., $G(s)H(s)=\frac{K(s+3)}{s(s+1)(s+5)}$
   • 此时数轴为:

     graph LR
     x1(0)
     x2(\-1)
     x3(\-5)
     z(\-3)
     \-infty-->x3-->z-->x2-->x1-->infty
     

   • 按照从右往左的顺序
     • 第一段$0\to \infty$不是(因为0个点)
     • 第二段$-1\to 0$是, 因为有一个极点
     • 第三段$-3\to -1$不是, 因为有两个极点
     • 第四段$-5\to -3$是, 因为有一个零点和两个极点
     • 第五段$-\infty \to -5$不是, 因为有三个极点和一个零点
   • 注意只有$-5\to -3$是一个线段. 因为$-1\to 0$两个都是极点, 因此会发散到无穷远处
4. 对于去无穷远处的root locus, 会沿着渐近线走向无穷远处.
   • 所有的渐近线在实轴上交于一点, 这个点为${\sigma }_a=\frac{\sum \text{Poles}-\sum \text{Zeros}}{n-m}$
   • 每个渐近线的角度为${\theta }_a=\frac{(2k+1)\times 180^{\circ }}{n-m}$. 即如果$n-m=3$, 那么角度分别为$60^{\circ },180^{\circ },300^{\circ }$
5. 当两条轨迹在实轴上相遇的时候, 会分开跑向复平面(e.g. 第三条的例子的$-5\to \leftarrow -3$)
   • 分开的位置为: $\frac{dK}{ds}=0$求解得出.
   • 一个简便算法: $\sum \frac{1}{s-p_i}=\sum \frac{1}{s-z_i}$
     • $p_i$是极点的值, $z_i$是零点的值

如何确定一个sketch是否是root locus:

1. 对称性: 沿实轴对称
2. 这个sketch如果右侧有偶数个点, 那么一定不是root locus
3. 数量守恒: sketch的数量等于极点的数量
4. 去无穷远处的数量一定等于$n-m$, 就是 极点个数-零点个数
5. 起点一定是极点, 终点一定是零点或无穷远

examples:

Lecture 4

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Compensator

常见串联在误差信号之后, 受控对象(Plant)之前. 数学上引入了额外的极点和零点到系统中(动态的补偿器)

在Root Locus中, 只调节了一个静态的常数增益$K$. 如果给Gain引入变量$s$, 让Gain和输入输出有关, 就得到了Dynamic Compensator. 引入动态补偿器的目的是, 如果受控对象的表现(如速度/精度/稳定性等)无法满足需求, 那么可以加入一个“大脑”(补偿器)来改变输入信号, 补偿硬件的缺陷

Integral and Lag Compensation

积分补偿器(Integral Compensator): 在原点$s=0$处有极点, 在$s=-a$处有零点的一个补偿器: $\frac{K(s+a)}{s}$

• 作用: 消除稳态误差
• 副作用: 会完全改变Root Locus
• 解决方案: $a\to 0$变成一个很小的数, 和原点处的极点组合来抵消对高频轨迹的影响

设计方法:

1. 确定要求, $\zeta$, $s_d$和对应的增益$K$
2. 极点一定位于原点处
3. 零点位于非常靠近原点的负实轴上
4. 确定增益: $K\approx K_{\text{old}}$, 或者按照幅值条件微调

延后补偿器(Lag Compensator): $\frac{s+z_c}{s+p_c}$或$K\frac{s+z_c}{s+p_c}$

• 改善稳态精度 同时既可能保持原有的瞬态响应不变
• 极点和零点都在非常靠近原点处
• 对增益的提升倍数为$\alpha =\frac{z_c}{p_c}$
  • 这个用于题目中有提到“improve the steady-state error by factor $\alpha$”这种说法
  • $|z_c|>|p_c|$, 即零点的位置更靠左

设计方法:

1. 确定倍数$\alpha =\frac{z_c}{p_c}=\frac{K_{new}}{K_{old}}$
2. 选择一个极点$p_c$, 尽可能靠近原点
3. 计算零点$z_c=\alpha p_c$
4. 增益应该和原始的增益近似: $K\approx K_{old}$, 最终的增益应该由Compensator进行调整

Differentiation and Lead Compensation

微分控制器(Derivative Compensator): 引入一个零点, $s+z_c$

• 增加阻尼(Damping), 提前“刹车”, 防止过冲(允许让Gain开的比较大)
• 只提供一个零点, 没有极点的干扰, 因此能够提供非常丰富的角度补偿
• 根据需要的root去修改root locus
  • 由于要求$\sum \text{零点到root与+x轴角度}-\sum \text{极点到root与+x轴的角度}=180^{\circ }$, 因此直接修改root locus是不可行的.
  • 因此引入一个零点用于平衡

设计方法:

1. 根据设计指标($\zeta$, $T_s$等)确定$s_d$
2. 计算当前极点零点对${\sigma }_d$的角度: $\sum \angle \text{zeros}-\sum \angle \text{poles}$
3. 根据角度和得到需要补偿的角度$\varphi =-180^{\circ }-(\sum \angle \text{zeros}-\sum \angle \text{poles})$
4. 利用几何关系计算零点$\angle (s_d+z_c)=\varphi$
   • $z_c=a+\frac{{\omega }_d}{\tan \varphi }$, 其中$s_d=-a+j{\omega }_d$
5. 利用条件$K=\frac{\prod \text{极点到}{s}_d\text{的距离}}{\prod \text{零点到}{s}_d\text{的距离}}$来计算新的增益$K$

提前补偿器(Lead Compensator): $\frac{s+z_c}{s+p_c}$

• Derivative Compensator通过引入零点提供更丰富的角度补偿, 但是会极大改变Transient Response
• 因此这个提供一个极点一个零点, 来维持原始的Transient Response变化不大

设计方法:

1. 同PD的设计, 首先确定$s_d$, 然后确定$\varphi$
2. 设计零点和极点. 有两种方法:
   1. 抵消法: 将一个零点放在一个极点上, 然后计算满足$\varphi$的另一个极点
   2. 角平分线法: 几何作图, 使得$s_d$与零极点连线的夹角平分线通过原点
3. 根据$K=\frac{\prod \text{极点到}{s}_d\text{的距离}}{\prod \text{零点到}{s}_d\text{的距离}}$计算增益$K$

PID Control

• 比例 P: $K_1$
• 误差积分 I: $\frac{K_2}{s}$
• 微分 D: $K_{3}s$

设计方法:

1. 确定目标极点:
   1. 根据$\%OS$计算$\zeta$
   2. 根据$T_s$计算$\sigma$
   3. 在复平面上计算$s_d$
2. 设计PD零点:
   1. 计算角度亏空$\varphi$
   2. 利用PD控制器提供的角度, 计算PD零点位置
   3. 此时控制器为$G_{PD}(s)=K(s+z_D)$
3. 设计PI零点:
   1. PI零点应该靠近原点 (任意选择一个零点)
   2. 引入原点处的积分极点
   3. 此时控制器为$G_{PID}(s)=K(s+z_D)\frac{s+z_I}{s}$

Lag-Lead Compensation

通常采用先Lead再Lag的形式:

$$G_c(s)=K\cdot \left(\frac{s+z_{lead}}{s+p_{lead}}\right)\cdot \left(\frac{s+z_{lag}}{s+p_{lag}}\right)$$

计算方法:

1. 确定$s_d$:
   1. 根据$\%OS$确定$\zeta$
   2. 根据$T_s$确定$\sigma$和${\omega }_d$
   3. $s_d=-\sigma +j{\omega }_d$
2. 设计Lead部分:
   1. 设计lead的零点(可以考虑放在一个极点上, 进行抵消)
   2. 计算角度亏空$\varphi$
   3. 根据$\varphi$计算$p_{lead}$必须提供的角度, 来设计$p_{lead}$
   4. 利用幅值条件, 计算增益$K=\frac{\prod \text{极点到}{s}_d\text{的距离}}{\prod \text{零点到}{s}_d\text{的距离}}$
3. 设计lag部分:
   1. 基于Lead的增益, 计算提升倍数$\alpha =\frac{K_{target}}{K_{current}}$, 使用Steady State Error计算$K_v$
   2. 放置零点, 任意位置, 但是要靠近原点
   3. $p_{lag}=\alpha \cdot z_{lag}$

Notch Filter

在剧烈波动的峰值处放一个零点和极点, 抑制这个波动:

$$G_c(s)=\frac{s^2+2{\zeta }_z{\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}{s^2+2{\zeta }_p{\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$

• ${\zeta }_z$: 零点阻尼比, 确定限制强度(越小越强)
• ${\zeta }_p$: 极点阻尼比, 确定限制范围

Summary

Feedback Compensation

Lecture 5

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Lecture 6

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Lecture 7

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Review

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